Toàn bộ chi tiết về công thức logarit cần biết

Công thức Logarit là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán ở bậc trung học phổ thông. Sau đây là toàn bộ chi tiết về công thức Logarit mà bạn cần biết để áp dụng và học tốt.

1. Logarit là gì?    

Logarit viết tắt là Log là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo đó, logarit của một số là số mũ của cơ số (giá trị cố định) nâng lên lũy thừa để tạo ra số khác. Một cách đơn giản, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại. Ví dụ: \(\log _ax=y\) giống như \(a^y=x\). Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3. Ta có, \(10^3\) là 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = \(10^3\). Như vậy, phép nhân ở ví dụ được lặp đi lặp lại 3 lần.

Tóm lại, lũy thừa cho phép các số dương có thể nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ luôn có kết quả là một số dương. Do đó, logarit dùng để tính toán phép nhân 2 số dương bất kỳ, điều kiện có 1 số dương # 1.

Logarit là gì

2. Mẹo học logarit và bài tập ví dụ

Để nắm chắc và áp dụng công thức này vào làm bài tập toán, bạn cần hiểu rõ công thức Logarit và cách áp dụng. Sau đây là các bước giúp bạn hiểu thấu đáo về công thức logarit.

2.1. Biết được sự khác biệt giữa phương trình logarit và hàm mũ

Điều này rất đơn giản để nhận ra sự khác biệt. Một phương trình logarit có dạng như sau: \(\log _ax=y\)

Như vậy, phương trình logarit luôn có chữ log. Nếu phương trình có số mũ có nghĩa là biến số được nâng lên thành lũy thừa thì đó là phương trình hàm mũ. Số mũ được đặt sau một số.

Logarit: \(\log _ax=y\)

Số mũ: \(a^y=x\)

2.2. Biết các thành phần của công thức logarit

Ví dụ công thức logarit: \(\log _28=3\)

Các thành phần của công thức logarit: Log là viết tắt của logarit. Cơ số là 2. Đối số là 8. Số mũ là 3.

2.3. Biết sự khác biệt giữa các logarit

Bạn cần biết logarit có nhiều loại để phân biệt cho tốt. Logarit bao gồm:

• Logarit thập phân hay logarit cơ số 10 được viết là \(\log_{10}b\) được viết phổ biến là lgb hoặc logb. Logarit cơ số 10 có tất cả các tính chất của logarit với cơ số > 1. Công thức: lgb=α↔\(10^α=b\)

• Logarite tự nhiên hay logarit cơ số e (trong đó e ≈ 2,718281828459045), viết là số logeb thường viết là lnb. Công thức như sau: lnb=α↔\(e^α=b\)

Ngoài ra, dựa theo tính chất của logarit, ta có các loại sau:

• Logarit của đơn vị và logarit của cơ số. Theo đó, với cơ số tùy ý, ta sẽ luôn có công thức logarit như sau: \(\log_a1=0\) và \(\log_aa=1\) 

• Phép mũ hóa và phép logarit hóa theo cùng cơ số. Trong đó, phép mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; còn logarit số hóa dương B theo cơ số a sẽ tính logab là hai phép toán ngược nhau ∀a,b>0(a≠1) \(a^{\log_aα}=\log_aa^α=α\)

\(\log_ab^α=α\log_ab\)

Logarit và các phép toán

Logarit và các phép toán

• Đổi cơ số cho phép chuyển các phép toán lấy logarit cơ số khác nhau khi tính logarit theo cùng một cơ số chung. Với công thức đổi số logarit này, khi biết logarit cơ số α, bạn sẽ tính được cơ số bất kỳ như tính được các logarit cơ số 2, 3 theo logarit cơ số 10.

Đổi cơ số Logarit

Lưu ý:

 

2.4. Biết và áp dụng các tính chất của logarit

Tính chất của logarit giúp bạn giải các phương trình của logarit và hàm mũ. Nếu không có các tính chất này, bạn sẽ không thể giải được phương trình. Tính chất của logarit chỉ dùng được khi cơ số và đối số của logarit là dương, điều kiện cơ số a # 1 hoặc 0.

• Tính chất 1: \(\log_a (xy) = \log_a x + =\log_a y\)

Logarit của 2 số x và y nhân với nhau có thể phân chia thành 2 logarit riêng biệt bằng phép cộng.

Ví dụ: 
\(\log_2 16=\log_2(8.2)=\log_28+\log_22=3+1=4\) 

• Tính chất 2: \(\log_a (x / y) = \log _a x - \log_ a y\) 

Logarit của 2 số x và y chia cho nhau có thể phân chia thành 2 logarit bằng phép trừ. Theo đó, logarit của cơ số x sẽ trừ đi logarit của cơ số y.

Ví dụ: \(\log _2 (5/3)=\log_25-\log_23\)  

• Tính chất 3: \(\log_a (x^r ) = r * \log_ a x\) 

Nếu đối số x của logarit có số mũ r thì số mũ sẽ trở thành số chia cho logarit.

Ví dụ: \(\log _2 (6^5 )=5*\log_26\) 

• Tính chất 4: \(\log_ a (1 / x) = -\log_ a x\) nghĩa là \((1/x) = x^{-1}\)

Ví dụ: \(\log_ 2 (1/3) = - \log_ 2 3\)

• Tính chất 5: \(\log_aa = 1\)

Ví dụ: \(\log_ 2 2 = 1\)

• Tính chất 6: \(\log_ a 1 = 0\) có nghĩa là nếu đối số bằng 1 thì kết quả của logarit luôn bằng 0. Tính chất này đúng với bất kỳ số nào có số mũ bằng 0 sẽ bằng 1.

Ví dụ: \(\log_ 3 1 = 0\)

• Tính chất 7: \((\log _b x / \log_ b a) = \log_ a x\)

Tính chất này được gọi là biến đổi cơ số. Mỗi logarit chia cho một logarit khác với điều kiện 2 logarit đều có cơ số giống nhau. Kết quả logarit mới có đối số a của mẫu số biến đổi thành cơ số mới và đối số x của tử số thành đối số mới.

Ví dụ: \(\log_ 2 5 = (\log 5 / \log 2)\)

Trên đây là những tính chất của logarit và áp dụng vào bài tập với ví dụ cụ thể để bạn tham khảo cho mình.

các tính chất của logarit

2.5. Thực hành vào làm bài tập với các tính chất của logarit

Để nhớ được các tính chất này, bạn cần rèn luyện bằng cách thực hành làm bài tập nhiều lần khi giải phương trình. Sau đây là ví dụ về giải phương trình áp dụng các thuộc tính của logarit hiệu quả để bạn dễ hình dung:

4x * log2 = log8 Chia cả hai vế cho log2.

4x = (log8 / log2) Sử dụng Thay đổi cơ sở.

4x = \(\log_ 2 8\) Tính giá trị của nhật ký.

4x = 3. Lúc này ta chia cả hai vế cho 4 sẽ được x = ¾ là kết quả của phương trình.

Tóm lại để hiểu rõ bản chất cùng tính chất của logarit, bạn cần học kỹ và thực hành nhiều.

2. Quy tắc tính logarit                    

2.1. Logarit của một tích          

Công thức logarit của một tích như sau: \(\log_α (ab) = \log_αb + \log_αc\) ; Điều kiện: a, b, c đều là số dương với a # 1.

Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số a = 10 là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

2.2. Logarit của lũy thừa

Ta có công thức logarit như sau: \(log_ab^α = α\log_ab\) điều kiện với mọi số α và a, b là số dương với a # 1.    

3. Công thức giải nhanh logarit   

Về công thực giải nhanh logarit, bạn sẽ cần quan tâm đến logarit hàm số lũy thừa, logarit hàm số mũ và hàm số logarit. Công thức tuy không khó nhưng dễ nhầm lẫn thiếu sót điều kiện khi làm nhiều dạng toán khác nhau. Chìa khóa để bạn làm tốt là học kỹ lý thuyết, hiểu chắc chắn các vấn đề sẽ giúp bạn tránh được điều này. Đồng thời ghi nhớ bằng cách làm bài tập lặp đi lặp lại nhiều lần và thử các dạng bài toán khác nhau.

4. Cách sử dụng bảng Logarit

Với bảng logarit, bạn sẽ tính toán nhanh hơn rất nhiều so với máy tính, đặc biệt khi muốn tính toán nhanh hoặc nhân số lớn, sử dụng logarit thuận tiện hơn cả.

4.1. Cách tìm logarit nhanh

Để tìm logarit nhanh, bạn cần chú ý các thông tin sau đây:

• Chọn bảng đúng: Hầu hết các bảng logarit là cho logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân.

• Tìm ô đúng: Giá trị của ô tại các giao điểm của hàng dọc và hàng ngang.

• Tìm số chính xác nhất bằng cách sử dụng các cột nhỏ hơn ở phía bên phải của bảng. Sử dụng cách này trong trường hợp số có 4 hoặc nhiều hơn.

• Tìm tiền tố trước một số thập phân: Bảng logarit cho bạn biết tiền tố trước một số thập phân. Phần sau dấu phẩy gọi là mantissa.

• Tìm phần nguyên. Cách này dễ tìm nhất đối với logarit cơ số 10. Bạn tìm bằng cách đếm các chữ số còn lại của số thập phân và trừ đi một chữ số.

Cách sử dụng bảng Logarit

4.2. Cách tìm logarit nâng cao

Muốn giải những phương trình logarit nâng cao, bạn cần lưu ý những điều sau đây:

• Hiểu logarit là gì? Ví dụ, 102 là 100, 103 là 1000. Như vậy số mũ 2,3 là logarit cơ số 10 của 100 và 1000. Mỗi bảng logarit chỉ có thể sử dụng được với một cơ số nhất định. Cho đến nay, loại bảng logarit phổ biến nhất là logarit cơ số 10, còn gọi là logarit phổ thông.

• Xác định đặc tính của số mà bạn muốn tìm logarit

• Khi tra bảng logarit, bạn nên dùng ngón tay cẩn thận tra hàng dọc ngoài cùng bên trái để tính logarit trong bảng. Sau đó, bạn trượt ngón tay để tra điểm giao giữa hàng dọc và hàng ngang.

• Nếu bảng logarit có một bảng phụ nhỏ dùng để tính toán phép tính lớn hay muốn tìm giá trị chính xác hơn, bạn trượt tay đến cột trong bảng đó được đánh dấu bằng chữ số tiếp theo của số bạn đang tìm kiếm.

• Thêm các số được tìm thấy trong 2 bước trước đó với nhau.

• Thêm đặc tính: Khi tra ra điểm giao của hai hàng ra số cần tìm, bạn thêm đặc tính với mantissa ở trên để có kết quả tính logarit của mình.

Hy vọng với những kiến thức về logarit ở trên, bạn đã có thể hiểu rõ về logarit cùng cách áp dụng vào tính toán, làm bài tập cho mình. Chúc bạn thành công.

Founder gia sư 123 lê hồng hạnh

Founder LÊ HỒNG HẠNH

✅ 6 năm gia sư tiếng Anh tại nhà / trực tuyến

✅ Trực tiếp giảng dạy cho hơn 1500 học viên

✅ Chuyên tư vấn, kiểm duyệt, nâng cao kỹ năng cho hàng trăm gia sư giỏi

"Vieclam123 - Trang kết nối hiệu quả gia sư với phụ huynh cả nước, giúp tìm kiếm gia sư và lớp mới cần dạy kèm không qua trung gian, miễn phí"