Đạo hàm và công thức tính đạo hàm cần biết

Tất cả những thông tin về đạo hàm sẽ giúp bạn hiểu và sử dụng tốt hơn trong khi học hay trong thực tiễn. Hãy cùng tham khảo nhé.

1. Thế nào là đạo hàm? 

Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại điểm \(x_0\), khi số gia đối số tiến sát đến 0 chính là đạo hàm của hàm \(y=f(x)\) tại \(x_0\).

Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) ký hiệu là \(y′(x_0)\) hoặc \(f′(x_0)\).

\(f'(x_0)=\lim\limits_{ \Delta x \to 0} \frac{ \Delta y}{ \Delta x}\) hoặc \(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Lưu ý:

• Số gia của hàm số: \(\Delta y=y-y_0\)

• Số gia của đối số: \(\Delta x=x-x_0\)

Có nghĩa là: Đạo hàm bằng \(\Delta y\) chia \(\Delta x\). Trong đó, \(\Delta x\) có giá trị vô cùng nhỏ.

Giá trị của đạo hàm tại 1 điểm \(x_0\) sẽ có ý nghĩa:

• Thể hiện chiều biến thiên của hàm số đang tăng hay giảm, xem đạo hàm tại đó dương + hay âm –

• Thể hiện độ lớn của biến thiên của hàm số. Nếu đạo hàm = 1 suy ra \(\Delta y\) tăng bằng \(\Delta x\).

Đạo hàm một bên

Đạo hàm có đạo hàm một bên là bên trái hoặc bên phải. Cụ thể:

• Đạo hàm bên trái của hàm số khi Δx tiến dần đến \(0^-\) (nghĩa là \(x\)\(x_0\) và nhỏ hơn \(x_0\)): y = f(x) tại \(x_0\) được ký hiệu là \(f'(x_0^-)\)

• Đạo hàm bên phải của hàm số khi Δx tiến dần đến \(0^+\) (nghĩa là \(x\)\(x_0\) và lớn hơn \(x_0\)): y = f(x) tại \(x_0\) ký hiệu là \(f'(x_0^+)\)

• y = f(x) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) \(\Leftrightarrow f'(x_0)=f'(x_0^-)=f'(x_0^+)\)

2. Ý nghĩa và ứng dụng đạo hàm

Đạo hàm cho thấy tốc độ thay đổi của đại lượng đó khi có sự thay đổi và tốc độ thay đổi nhanh hay chậm. Do đó, đạo hàm có thể dùng như một công cụ quan trọng về sự thay đổi diễn ra như thế nào mọi lúc mọi nơi.

Đạo hàm dương khi hàm số đang tăng, tốc độ tăng càng nhanh, đạo hàm càng lớn. Đạo hàm âm khi hàm số đang giảm, theo đó hàm số giảm càng nhanh thì âm càng nhiều.

Ứng dụng vào thực tiễn, đạo hàm có thể cho bạn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế để ứng dụng đầu tư vào chứng khoán tốt nhất hay biết về tốc độ gia tăng dân số cho từng vùng cụ thể. Xác định tốc độ phản ứng hóa học, gia tốc của chuyển động, tính toán tốc độ. Để có kết quả, bạn cần có hàm số mô tả đại lượng để tìm đạo hàm của điều mình quan tâm.

Xem hàm số có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở đâu để tối ưu các hoạt động trong cuộc sống. Khi hàm số đạt giá trị cực đại khi đó đạo hàm bằng 0, lưu ý có ngoại lệ. Từ đó, có thể biết đại lượng có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở đâu để tối ưu hóa theo mong muốn đề ra. Ví dụ một công ty tính số sản phẩm nên sản xuất để đạt lợi nhuận cao nhất từ đây. Hay tính sao cho hộp sữa có nhiều sữa nhất bằng cách này với nguyên liệu có sẵn… áp dụng thiết kế một lon nước ngọt cũng tương tự.

3. Quy tắc của đạo hàm

  • Quy tắc cơ bản của tính đạo hàm

Bảng quy tắc tính đạo hàm cơ bản

  • Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Nếu y = y(u(x)) thì y'(x) = y'(u) * u'(x)

4. Đạo hàm gồm những công thức cơ bản gì? 

Công thức của đạo hàm      

5. Chi tiết công thức của đạo hàm lượng giác

\((\sin (x))'=\cos (x)\)

\((\cos (x))'=-\sin (x)\)

\((\tan (x))'=(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})'=\frac{\cos ^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}=sec^2(x)\)

\((\cot(x))'=(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})'=\frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-(1+\cot^2(x))=-csc^2(x)\)

\((sec(x))'=(\frac{1}{\cos (x)})'=\frac{\sin (x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}.\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=sec(x) \tan (x)\)

\((csc(x))'=(\frac{1}{\sin (x)})'=-\frac{\cos (x)}{\sin^2(x)}=-\frac{1}{\sin (x)}.\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=-csc(x)\cot(x)\)

\((arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((arccos(x))'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((arctan(x))'=\frac{1}{x^2+1}\)

6. Bảng đạo hàm là gì?

Chi tiết bảng đạo hàm     

7. Bài tập tính đạo hàm  

Sau đây là cách làm bài tập tính đạo hàm để bạn tham khảo kỹ năng cho bản thân nhé.

7.1. Đơn giản hóa chức năng của hàm

Để đơn giản hóa chức năng của đạo hàm sao cho vẫn mang lại cùng một đạo hàm nhưng thay vì khó tính toán, bạn sẽ thực hiện tính toán đơn giản hơn nhiều. Ví dụ có phương trình (6x + 8x) / 2 + 17x +4, bạn thực hiện đơn giản hóa theo các đơn giản hóa như sau:

• (14x) / 2 + 17x + 4

7x + 17x + 4

=> 24x + 4

7.2. Xác định dạng của hàm

Tìm hiểu các hình thức khác nhau như:

• Là một số cụ thể như số 4

• Gồm 1 số nhân với một biến không có số mũ như 4x

• Gồm 1 số nhân với một biến có số mũ (ví dụ 4x ^ 2)

• Hay hình thức 4x + 4

• Nhân các biến dạng x * x

• Hình thức phân chia biến dạng x / x

7.3. Một số

Đạo hàm của một hàm ở dạng này luôn có giá trị bằng 0. Ví dụ:

• (4) '= 0

• (-234059) '= 0

• (pi) '= 0

Lưu ý: Kết quả này xảy ra là do không có sự thay đổi trong hàm. Theo đó, giá trị của hàm sẽ luôn là số mà đề bài cung cấp trước.

7.4. Một số nhân với một biến không có số mũ

Đạo hàm của một hàm ở dạng này luôn là số. Ví dụ:

•  (4x) '= 4

(x) '= 1

(-23x) '= -23

Lưu ý: Hàm sẽ tăng với tốc độ ổn định, không đổi, không thay đổi nếu x không có số mũ. Từ phương trình tuyến tính y = mx + b sẽ giúp bạn nhận ra thủ thuật này.

7.5. Một số nhân với một biến có số mũ

Thực hiện công thức tính đạo hàm này, ta có:

• Nhân số với giá trị của số mũ

• Trừ một từ số mũ

Ví dụ:

• (4x ^ 3) '= (4 * 3) (x ^ (3-1)) = 12x ^ 2

(2x ^ 7) '= 14x ^ 6

(3x ^ (- 1)) '= -3x ^ (- 2)

Ghi chú: Các ví dụ có các ghi chú: biểu tượng cho một đạo hàm là biểu tượng ', dấu * để nhân, dấu ^ là số mũ.

Hy vọng những thông tin về đạo hàm và công thức tính đạo hàm ở trên đã mang tới cho bạn những thông tin bổ ích cho việc học hay áp dụng vào cuộc sống.

Founder gia sư 123 lê hồng hạnh

Founder LÊ HỒNG HẠNH

✅ 6 năm gia sư tiếng Anh tại nhà / trực tuyến

✅ Trực tiếp giảng dạy cho hơn 1500 học viên

✅ Chuyên tư vấn, kiểm duyệt, nâng cao kỹ năng cho hàng trăm gia sư giỏi

"Vieclam123 - Trang kết nối hiệu quả gia sư với phụ huynh cả nước, giúp tìm kiếm gia sư và lớp mới cần dạy kèm không qua trung gian, miễn phí"