Học giỏi nguyên hàm với bảng nguyên hàm toán học lớp 12

Trong những môn học mà học sinh được học trên ghế nhà trường thì không thể bỏ qua được môn toán. Đây là một trong những môn đặc biệt quan trọng đối với hầu hết tất cả các khối thi vào đại học cao đẳng. Đối với toán học có rất nhiều các phần để học như hình học có hình học không gian và hình học vi phân, lý thuyết về độ đo. Còn về phần đại số chúng ta sẽ được học về lượng có số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số phức, số thực,...và rất nhiều các kiến thức khác. Bài viết này của Vieclam123.vn muốn đề cập đến cho người đọc một chủ đề về đại đó chính là “Bảng nguyên hàm” và những yếu tố liên quan. Đây chính là phần kiến thức trọng tâm không thể thiếu đối với những bạn học sinh đang theo học lớp 12 đang học môn toán học phần giải thích. Đây cũng chính là phần kiến thức quan trọng dành cho những bạn chuẩn bị thi đại học. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp lại những vấn đề liên quan đến bảng nguyên hàm mà các bạn có thể tham khảo.

1. Bảng nguyên hàm với các hàm số thường gặp

Có ba loại bảng nguyên hàm mà học sinh cần học thuộc để có thể áp dụng vào giải các bài tập đại số một cách chính xác nhất cụ thể như:

  • Bảng nguyên hàm đơn giản với các công thức cụ thể:

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

  • Bảng nguyên hàm mở rộng với các công thức cụ thể:

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

  • Bảng nguyên hàm nâng cao với các công thức cụ thể:

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

2. Các phương pháp giải bài tập với các phương pháp tìm nguyên hàm

Đây là một dạng bài tập khá phổ biến trong toán học, đặc biệt là đối với toán học lớp 12. Dạng bài tập này được đánh giá là không mất khó khăn đối với học sinh. Các bạn có thể giải được các bài toán dạng này khi học thuộc và áp dụng đúng các công thức mẫu.

Để giải bài toán tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x). Đồng nghĩa với việc ta đi tìm một tích của hàm số đó. Để giải tích phân bất định, ta sử dụng 1 trong 3 phương pháp:

- Phương pháp phân tích.

- Phương pháp đổi biến số.

- Phương pháp tích phân từng phần.

Để có thể giải được các bài tập dạng này điều bạn cần quan tâm đó là f(x) có dạng như thế nào để có được các bước nghiên cứu một cách cụ thể phân tích chúng. Việc bạn cần làm là nghiên cứu và biến đổi để có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm ra kết quả. Không chỉ có phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm đơn giản mà bạn còn có thể áp dụng một trong các cách nói trên.

2.1. Khi áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Để hiểu hơn về việc áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản bạn có thể tham khảo ví dụ sau đây:

Công thức nguyên hàm cơ bản

2.2. Khi áp dụng công thức của phương pháp biến đổi

Đối với phương pháp biến đổi của nguyên hàm thường gặp ta có một số công thức tổng quát cụ thể như sau:

  • Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0:

\(\int\limits_a^a f(x) = 0\)

  • Đảo cận thì đổi dấu: 

\(\int\limits_a^b f(x)dx = - \int\limits_b^af(x)dx\)

  • Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân:

\(\int\limits_a^bk*f(x)dx=k*\int\limits_a^bf(x)dx\)

  • Tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân:

\(\int\limits_a^b[f_1(x)\pm f_2(x)\pm \dotsi \pm f_n(x)]dx = \int\limits_a^bf_1(x)dx \pm \int\limits_a^bf_2(x)dx\pm \dotsi \pm\int\limits_a^bf_n(x)dx\)

  • Tách đôi tích phân:

\(\forall \gamma \in [a,b] \Rightarrow \int_a^bf(x)dx = \int_a^\gamma f(x)dx + \int_\gamma^b f(x)dx\)

  • So sánh giá trị của tích phân:

 \(f(x)\geq0\) trên đoạn [a,b]  \(\Rightarrow \int_a^bf(x)dx \geq 0\)

\(f(x)\geq g(x)\) trên đoạn [a,b] \(\Rightarrow \int_a^bf(x)dx \geq \int_a^bg(x)dx\)

\(m\leq f(x) \leq M\) trên đoạn [a,b] \(\Rightarrow m(b-a) \leq \int_a^bf(x)dx \leq M(b-a)\)

Dựa vào những công thức nêu trên bạn có thể áp dụng được chúng dễ dàng vào nhiều bài toán khó hơn, phức tạp hơn.

2.3. Khi áp dụng công thức của nguyên hàm từng phần

Đây là phương pháp được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của một tích.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(I_5 = \int x^2 \ln xdx\)

b) \(I_6 = \int x\ln^2(x+1)dx\)

Hướng dẫn giải:

a) \(I_5 = \int x^2 \ln xdx\)

  • Cách 1:

Đặt \(\begin{cases} u=\ln x\\ x^2dx=dv \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^3}{3} \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(I_5=\int x^2 \ln xdx=\frac{x^3}{3} \ln x-\int \frac{x^3}{3}.\frac{dx}{x}=\frac{x^3}{3} \ln x-\frac{x^3}{9}+C.\)

  • Cách 2:

\(I_5=\int x^2 \ ln xdx=\int \ln xd(\frac{x^3}{3})=\frac{x^3}{3}\ln x-\int \frac{x^3}{3}d(\ln x)=\frac{x^3}{3} \ln x-\int \frac{x^3}{3} \frac{dx}{x}=\frac{x^3}{3} \ln x-\frac{x^3}{9}+C.\)

b) \(I_6 = \int x\ln^2(x+1)dx\)

Ta có \(I_6=\int x \ln ^2(x+1)dx=\int \ln^2(x+1)d(\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}\ln^2(x+1)-\int \frac{x^2}{2}d(\ln^2(x+1))\)

Chú ý: Đối với phương pháp này bạn cần có thứ tự ưu tiên đặt u có trong phương pháp nguyên hàm từng phần. Cụ thể theo hướng Logarit – đa thức – hàm lượng giác – hàm mũ. Bạn cần chú ý đến cách phân tích theo hướng trên để có thể có các bước làm bài hiệu quả nhất.

2.4. Phương pháp nguyên hàm từng phần và phối hợp đổi biến số

Đối với phương pháp này bạn cần áp dụng đúng công thức thì mới có thể giải được bài tập một cách chi tiết và cho ra đúng đáp án của bài toán.

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định

a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\)

b) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(x=\sin t\)\(t\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\Rightarrow dx=\cos tdt\)

\(\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt {(1-x^2)^3}}=\frac{\cos tdt}{\cos^3t}=\frac{dt}{cos^2t}=d(\tan t).\)

Khi đó: \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=\int d(\tan t)=\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\)

b) Vì \(x^2+2x+3=(x+1)^2+(\sqrt 2)^2, nên\)

Đặt \(x+1=\sqrt 2 \tan t\)\(t\in(- \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\Rightarrow dx=\sqrt2.\frac{dt}{\cos^2t}; \tan t=\frac{x+1}{\sqrt2}\)

\(\Rightarrow\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+(\sqrt2)^2}}=\frac{dt}{\sqrt{2(\tan^2t+1)\cos^2t}}=\frac{dt}{\sqrt2\cos t}\)

\(=\frac{1}{\sqrt2}.\frac{\cos tdt}{1-\sin^2t}=-\frac{1}{2\sqrt2}.(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}).\)

Khi đó: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=-\frac{1}{2\sqrt2}\int(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1})=-\frac{1}{2\sqrt2}\ln |\frac{\sin t-1}{\sin t+1}|+C (*)\)

Từ \(\tan t=\frac{x+1}{\sqrt2}\Leftrightarrow \tan^2t=\frac{\sin^2t}{1-\sin^2 t}=\frac{(x+1)^2}{2}\Rightarrow\sin^2t=1-\frac{2}{x^2+2x+3}.\)

Ta tìm được sint, thay vào (*) ta tính được I.

2.5. Tìm ra kết quả của nguyên hàm với phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Khi bạn bắt gặp những nguyên hàm rắc rối nhiều ẩn bạn nên sử dụng nguyên hàm phụ để giải bài toán một cách nhanh và chi tiết nhất. Đối với kiểu bài toán như thế này bạn cần áp dụng đúng công thức thì sẽ rất nhanh chóng và thuận lợi. Cụ thể như sau:

Bước 1: Chọn \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân 2 vế: \(dx=\varphi'(t)dt\)

Bước 3: Biến đổi: \(f(x)dx=f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=g(t)dt\)

Bước 4: Khi đó tính: \(\int f(x)dx=\int g(t)dt=G(t)+C.\)

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Cách dùng phương pháp nguyên hàm phụ

3. Những lưu ý khi giải các phương trình nguyên hàm

Không phải tất cả các nguyên hàm đều cứ áp dụng đúng công thức thì bạn có thể tìm ra đáp án. Điều này chỉ đúng khi phương trình nguyên hàm có dạng đúng với công thức mẫu thì bạn mới có thể áp dụng đúng công thức mẫu vào việc giải bài toán đó.

Có rất nhiều các phương trình nguyên hàm được ẩn dưới dạng nhiều phương pháp, chính vì vậy mà bạn cần có bộ óc tư duy thông minh, sáng suốt để biến đổi chúng về những dạng phương pháp đã được học. Việc biến đổi cũng cần làm như thế nào cho ngắn gọn dễ dàng áp dụng công thức một cách chính xác nhất. Việc giải một bài toán nhanh hay chậm là phụ thuộc vào bước bạn phân tích phương trình nguyên hàm có ngắn gọn hay không và áp dụng công thức nào là tốt nhất.

Bạn có thể rèn luyện các kỹ năng phân tích và tổng hợp phương trình thật thành thạo như vậy bạn mới có khả năng thắng trong những kỳ thì vào đại học với những đối thủ đáng gờm. Hy vọng với những thông tin về bảng nguyên hàm bạn có được những thông tin bổ ích phục vụ cho việc học và làm bài tập của mình.

Founder gia sư 123 lê hồng hạnh

Founder LÊ HỒNG HẠNH

✅ 6 năm gia sư tiếng Anh tại nhà / trực tuyến

✅ Trực tiếp giảng dạy cho hơn 1500 học viên

✅ Chuyên tư vấn, kiểm duyệt, nâng cao kỹ năng cho hàng trăm gia sư giỏi

"Vieclam123 - Trang kết nối hiệu quả gia sư với phụ huynh cả nước, giúp tìm kiếm gia sư và lớp mới cần dạy kèm không qua trung gian, miễn phí"