Đăng nhập tài khoản:
Bảng nguyên hàm và tích phân là kiến thức cần phải ghi nhớ khi học giải tích lớp 12. Đây là kiến thức thường xuất hiện khi thi đại học và tốt nghiệp. Sau đây sẽ là những kiến thức bạn cần nhớ về bảng nguyên hàm.
MỤC LỤC
Nguyên hàm là một phép tính ngược của đạo hàm. Ta có thể định nghĩa nguyên hàm như sau:
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng nhất định H, Khi đó ta có F(x) là nguyên hàm của f(x) khi và chỉ khi F(x) khả vi trên H và F'(x)=f(x) với mọi x thuộc H.
VD: cho hàm số f(x)= Cos(x). Ta có F(x)= -sin(x) chính là nguyên hàm của f(x) vì (-sin(x))'=cos(x) hay F'(x)=f(x)
- Ta có 1 số thực C bất kỳ, nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số g(x)=F(x)+C cũng là nguyên hàm của f(x), ta gọi đó là họ nguyên hàm. ký hiệu: \(\int f(x) dx\)
- Mọi hàm số liên tục trên H thì đều có nguyên hàm trên H.
Tính chất của nguyên hàm
Nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên H thì:
\(\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\)
\(\int C.f(x)dx = C\int f(x)dx\) với mọi số thực C khác 0
Có ba loại bảng nguyên hàm mà học sinh cần học thuộc để có thể áp dụng vào giải các bài tập đại số một cách chính xác nhất cụ thể như:
Đây là một dạng bài tập khá phổ biến trong toán học, đặc biệt là đối với toán học lớp 12. Dạng bài tập này được đánh giá là không mất khó khăn đối với học sinh. Các bạn có thể giải được các bài toán dạng này khi học thuộc và áp dụng đúng các công thức mẫu, bảng công thức nguyên hàm.
Để giải bài toán tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x). Đồng nghĩa với việc ta đi tìm một tích của hàm số đó. Để giải tích phân bất định, ta sử dụng 1 trong 3 phương pháp:
- Phương pháp phân tích.
- Phương pháp đổi biến số.
- Phương pháp tích phân từng phần.
Để có thể giải được các bài tập dạng này điều bạn cần quan tâm đó là f(x) có dạng như thế nào để có được các bước nghiên cứu một cách cụ thể phân tích chúng. Việc bạn cần làm là nghiên cứu và biến đổi để có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm ra kết quả. Không chỉ có phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm đơn giản mà bạn còn có thể áp dụng một trong các cách nói trên.
Để hiểu hơn về việc áp dụng công thức trong bảng công thức nguyên hàm cơ bản bạn có thể tham khảo ví dụ sau đây.
Đối với phương pháp biến đổi của nguyên hàm thường gặp ta có một số công thức tổng quát trong bảng nguyên hàm đầy đủ cụ thể như sau:
\(\int\limits_a^a f(x) = 0\)
\(\int\limits_a^b f(x)dx = - \int\limits_b^af(x)dx\)
\(\int\limits_a^bk*f(x)dx=k*\int\limits_a^bf(x)dx\)
\(\int\limits_a^b[f_1(x)\pm f_2(x)\pm \dotsi \pm f_n(x)]dx = \int\limits_a^bf_1(x)dx \pm \int\limits_a^bf_2(x)dx\pm \dotsi \pm\int\limits_a^bf_n(x)dx\)
\(\forall \gamma \in [a,b] \Rightarrow \int_a^bf(x)dx = \int_a^\gamma f(x)dx + \int_\gamma^b f(x)dx\)
\(f(x)\geq0\) trên đoạn [a,b] \(\Rightarrow \int_a^bf(x)dx \geq 0\)
\(f(x)\geq g(x)\) trên đoạn [a,b] \(\Rightarrow \int_a^bf(x)dx \geq \int_a^bg(x)dx\)
\(m\leq f(x) \leq M\) trên đoạn [a,b] \(\Rightarrow m(b-a) \leq \int_a^bf(x)dx \leq M(b-a)\)
Dựa vào những công thức trong bảng nguyên hàm nêu trên bạn có thể áp dụng được chúng dễ dàng vào nhiều bài toán khó hơn, phức tạp hơn.
Đây là phương pháp được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của một tích.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(I_5 = \int x^2 \ln xdx\)
b) \(I_6 = \int x\ln^2(x+1)dx\)
Hướng dẫn giải:
a) \(I_5 = \int x^2 \ln xdx\)
Đặt \(\begin{cases} u=\ln x\\ x^2dx=dv \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^3}{3} \end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(I_5=\int x^2 \ln xdx=\frac{x^3}{3} \ln x-\int \frac{x^3}{3}.\frac{dx}{x}=\frac{x^3}{3} \ln x-\frac{x^3}{9}+C.\)
\(I_5=\int x^2 \ ln xdx=\int \ln xd(\frac{x^3}{3})=\frac{x^3}{3}\ln x-\int \frac{x^3}{3}d(\ln x)=\frac{x^3}{3} \ln x-\int \frac{x^3}{3} \frac{dx}{x}=\frac{x^3}{3} \ln x-\frac{x^3}{9}+C.\)
b) \(I_6 = \int x\ln^2(x+1)dx\)
Ta có \(I_6=\int x \ln ^2(x+1)dx=\int \ln^2(x+1)d(\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}\ln^2(x+1)-\int \frac{x^2}{2}d(\ln^2(x+1))\)
Chú ý: Đối với phương pháp này bạn cần có thứ tự ưu tiên đặt u có trong phương pháp nguyên hàm từng phần. Cụ thể theo hướng Logarit – đa thức – hàm lượng giác – hàm mũ. Bạn cần chú ý đến cách phân tích theo hướng trên để có thể có các bước làm bài hiệu quả nhất.
Đối với phương pháp này bạn cần áp dụng đúng công thức thì mới có thể giải được bài tập một cách chi tiết và cho ra đúng đáp án của bài toán.
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định
a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\)
b) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)
Hướng dẫn giải:
a) Đặt \(x=\sin t\); \(t\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\Rightarrow dx=\cos tdt\)
\(\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt {(1-x^2)^3}}=\frac{\cos tdt}{\cos^3t}=\frac{dt}{cos^2t}=d(\tan t).\)
Khi đó: \(\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=\int d(\tan t)=\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\)
b) Vì \(x^2+2x+3=(x+1)^2+(\sqrt 2)^2, nên\)
Đặt \(x+1=\sqrt 2 \tan t\); \(t\in(- \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\Rightarrow dx=\sqrt2.\frac{dt}{\cos^2t}; \tan t=\frac{x+1}{\sqrt2}\)
\(\Rightarrow\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+(\sqrt2)^2}}=\frac{dt}{\sqrt{2(\tan^2t+1)\cos^2t}}=\frac{dt}{\sqrt2\cos t}\)
\(=\frac{1}{\sqrt2}.\frac{\cos tdt}{1-\sin^2t}=-\frac{1}{2\sqrt2}.(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}).\)
Khi đó: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=-\frac{1}{2\sqrt2}\int(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1})=-\frac{1}{2\sqrt2}\ln |\frac{\sin t-1}{\sin t+1}|+C (*)\)
Từ \(\tan t=\frac{x+1}{\sqrt2}\Leftrightarrow \tan^2t=\frac{\sin^2t}{1-\sin^2 t}=\frac{(x+1)^2}{2}\Rightarrow\sin^2t=1-\frac{2}{x^2+2x+3}.\)
Ta tìm được sint, thay vào (*) ta tính được I.
Khi bạn bắt gặp những nguyên hàm rắc rối nhiều ẩn bạn nên sử dụng nguyên hàm phụ để giải bài toán một cách nhanh và chi tiết nhất. Đối với kiểu bài toán như thế này bạn cần áp dụng đúng công thức thì sẽ rất nhanh chóng và thuận lợi. Cụ thể như sau:
Bước 1: Chọn \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân 2 vế: \(dx=\varphi'(t)dt\)
Bước 3: Biến đổi: \(f(x)dx=f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=g(t)dt\)
Bước 4: Khi đó tính: \(\int f(x)dx=\int g(t)dt=G(t)+C.\)
* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Không phải tất cả các nguyên hàm đều cứ áp dụng đúng công thức bảng nguyên hàm thì bạn có thể tìm ra đáp án. Điều này chỉ đúng khi phương trình nguyên hàm có dạng đúng với công thức bảng nguyên hàm mẫu thì bạn mới có thể áp dụng đúng công thức mẫu trong bảng nguyên hàm vào việc giải bài toán đó.
Có rất nhiều các phương trình nguyên hàm được ẩn dưới dạng nhiều phương pháp, chính vì vậy mà bạn cần có bộ óc tư duy thông minh, sáng suốt để biến đổi chúng về những dạng phương pháp đã được học có trong bảng nguyên hàm. Việc biến đổi cũng cần làm như thế nào cho ngắn gọn dễ dàng áp dụng công thức trong bảng nguyên hàm một cách chính xác nhất. Việc giải một bài toán nhanh hay chậm là phụ thuộc vào bước bạn phân tích phương trình nguyên hàm có ngắn gọn hay không và áp dụng công thức nào trong bảng nguyên hàm là tốt nhất.
Bạn có thể rèn luyện các kỹ năng phân tích và tổng hợp phương trình thật thành thạo như vậy bạn mới có khả năng thắng trong những kỳ thì vào đại học với những đối thủ đáng gờm. Hy vọng với những thông tin về bảng nguyên hàm đầy đủ sẽ giúp bạn có được những thông tin bổ ích phục vụ cho việc học và làm bài tập của mình.
>> Xem thêm:
MỤC LỤC
Chia sẻ