home-logo.png
 Tìm kiếm nâng cao

Định Lý VI-ET và Những Điều Cần Biết

  By   Administrator   26/03/2019

Định lý Vi-et là kiến thức quan trọng trong chương trình học chính khóa đối với học sinh. Sau đây là những thông tin về định lý Vi-et và những điều cần biết. 

1. Định lý Viète                 

1.1. Khái niệm:

Định lý Vi-et hay công thức Vi-et thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét).

Định lý Vi-et học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh.

1.2. Định lý Vi-et thuận: 

Định lý Vi-et thuận

1.3. Định lý Vi-et đảo: 

Định lý Vi-et đảo

1.4. Ứng dụng của hệ thức Vi-et

Theo hệ thức Vi-et, phương trình ax2 + bx + c = 0(2) có hai nghiệm là x1, x2 khi vào chỉ khi thỏa mãi các hệ thức: 

hệ thức Vi-et

Do đó, các ứng dụng của Định lý Vi-et bao gồm:                               

• Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2. Ví dụ: Với phương trình x2 – 5x + 6 = 0, ta có thể tính nhẩm nghiệm số nguyên của phương trình là 2 và 3 bởi 2 + 3 = 5 và 2 x 3 = 6.       

• Tìm 2 số khi biết tích và tổng: Nếu tổng là S, tích là P thì hai số có 2 nghiệm phương trình gồm : X2 – SX + P = 0 (Lưu ý, hai số trên tồn tại với điều kiện là S2 – 4P >= 0)

• Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc 2: 

• Biến tam thức bậc 2 thành nhân tử: Nếu x1, x2 là nghiệm của đa thức f(x) = ax2 + bx + c có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x – x1)(x – x2)

2. Phương trình bậc hai                                               

Công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình bậc 2 có dạng như sau nếu 2 nghiệm của phương trình lần lượt là x1 và x2, ta có công thức:

ax2 + bx + c = 0, điều kiện a # 0 thì ta có x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a

3. Phương trình đa thức bất kỳ                                  

Phương trình đa thức bất kỳ có dạng: Phương trình đa thức bất kỳ 

Cho x1, x2, x3,…, xn là n nghiệm của phương trình đa thức ở trên, ta có công thức như sau: Phương trình đa thức bất kỳ 

Do đó, công thức Vi-ét sẽ là kết quả của phép tính ở vế phải và ta được: 

Phương trình đa thức bất kỳ 

Theo đó, trong hàng k bất kỳ, ta sẽ có đẳng thức a(n-k) sẽ là vế phải còn vế trái sẽ là:

 Phương trình đa thức bất kỳ 

Ví dụ về phương trình bậc 3 cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Ta chia đều cho a3 tức a ở cả 2 về của phương trình đồng thời chuyển dấu trừ (nếu có) sang về phải thì công thức Vi-et là:

 Phương trình đa thức bất kỳ 

4. Các ứng dụng của định lý Vi-ét

4.1. Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng              

Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng
Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng
       Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng
Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng

4.2. Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm   

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 

4.3. Tìm Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số    

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số
Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số

4.4. Tìm Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước (Điều Kiện Cho Trước)         

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước
Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước

 

4.5. Thiết Lập Phương Trình Bậc 2             

Dựa trên cơ sở của định lý Vi-et, ta thiết lập phương trình bậc 2 có nghiệm là x1, x2. Nếu x1+x2=S; x1.x2=P thì nghiệm của phương trình là x1, x2

Xét các ví dụ: 

Thiết Lập Phương Trình Bậc 2
Thiết Lập Phương Trình Bậc 2
Thiết Lập Phương Trình Bậc 2
Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

4.6. Xét Dấu Các Nghiệm

Xét Dấu Các Nghiệm
Xét Dấu Các Nghiệm  
Xét Dấu Các Nghiệm
       Xét Dấu Các Nghiệm
Xét Dấu Các Nghiệm                                                  

5. Bài tập ứng dụng định lý Vi-et

Sau đây là những bài tập áp dụng định lý Vi-et đã học ở trên mà chúng ta cùng tham khảo sau đây.

Bài tập 1: Gọi các nghiệm của phương trình x2 – 3x + 1 = 0 là x1, x2. Yêu cầu tìm giá trị của các biểu thức mà không giải phương trình.

Bài tập ứng dụng định lý Viète 

Bài giải:Δ = -32 – 4.1 = 9 – 4 = 5 > 0 => phương trình có nghiệm x1, x2 # 0  

Bài tập ứng dụng định lý Viète 

Bài tập 2: Đề bài có phương trình x2 + (2m – 1)x – m = 0

a. Chứng minh với mọi m phương trình luôn có nghiệm.

b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm. Để biểu thức A= x12 + x22 - x1.x2 có giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị của m.

Bài giải:

Bài tập ứng dụng định lý Viète

Bài tập 3: Tìm giá trị của k của phương trình x2 + 2x + k = 0 để nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện như sau:

  1. x1 – x2 = 14
  2. x1 = 2x2
  3. x12 + x22 = 1
  4. 1/x1 + 1/x2 = 2

Bài giải: 

Bài tập ứng dụng định lý Viète

Hy vọng những kiến thức về định lý Vi-ét ở trên đã mang tới cho bạn những thông tin mà mình đang cần. Truy cập https://vieclam123.vn/ mỗi ngày để biết thêm nhiều thông tin bổ ích dành cho bạn..    

>> Xem thêm:

Gia sư nổi bật
Nguyễn Thị Thuỳ Dương  Hà Nội
Nguyễn Thị Thuỳ Dương Gia sư môn:  Toán , Tiếng Anh , Nhảy (Dance) Từ: 150,000 vnđ/buổi
no image  Hà Nội
Lương Thị Hà Trang Gia sư môn:  Tiếng Anh , Tiếng Đức , Tiếng Trung Từ: 150,000 vnđ/buổi
Chu Thị Bé  Hà Nội
Chu Thị Bé Gia sư môn:  Tiếng Việt , Ngành nghề khác Thương lượng
Trịnh thị thoan  Lào Cai
Trịnh thị thoan Gia sư môn:  Toán Thương lượng
no image  Hồ Chí Minh
Trần Thị Cẩm Ly Gia sư môn:  Văn Từ: 80,000 vnđ/buổi
Huỳnh Kim Thoa  Hồ Chí Minh
Huỳnh Kim Thoa Gia sư môn:  Sinh , Tiếng Anh , Tiếng Hàn Từ: 120,000 vnđ/buổi
Đinh Quang Linh  Hồ Chí Minh
Đinh Quang Linh Gia sư môn:  Tiếng Anh Từ: 200,000 vnđ/buổi
Xem thêm gia sư