1. Logarit là gì?

Logarit viết tắt là Log là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (giá trị cố định), phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra số a đó. Một cách đơn giản, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại. Ví dụ: \(\log _ax=y\) giống như \(a^y=x\). Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3. Ta có, \(10^3\) là 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = \(10^3\) hay \(log_{10}1000=3\). Như vậy, phép nhân ở ví dụ được lặp đi lặp lại 3 lần.

Tóm lại, lũy thừa cho phép các số dương có thể nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ luôn có kết quả là một số dương. Do đó, logarit dùng để tính toán phép nhân 2 số dương bất kỳ, điều kiện có 1 số dương # 1.

Ngoài ra còn có Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x), loge(x). Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a ⇔ \(e^a=x\). Số e được lấy sấp sỉ bằng 2,71828

2. Mẹo học các công thức logarit và bài tập ví dụ chi tiết

Giống như khi học công thức tích phân hay công thức tính đạo hàm hoặc bất kì công thức toàn học nào khác, điều đầu tiên là phải hiểu rõ về các công thức đó và thực hành thường xuyên từ các bài tập cơ bản đến nâng cao. Và với công thức logarit (công thức logarit nepe) cũng vậy, bạn cần hiểu rõ công thức Logarit và cách áp dụng. Sau đây là các bước giúp bạn hiểu thấu đáo về công thức logarit.

2.1. Biết được sự khác biệt giữa phương trình logarit và hàm mũ

Điều này rất đơn giản để nhận ra sự khác biệt. Một phương trình logarit có dạng như sau: \(\log _ax=y\)

Như vậy, phương trình logarit luôn có chữ log. Nếu phương trình có số mũ có nghĩa là biến số được nâng lên thành lũy thừa thì đó là phương trình hàm mũ. Số mũ được đặt sau một số.

Logarit: \(\log _ax=y\)

Số mũ: \(a^y=x\)

Xem thêm: Tổng Hợp Các Công Thức Lượng Giác và Mẹo Học Thuộc

2.2. Biết các thành phần của hàm logarit

Ví dụ công thức logarit: \(\log _28=3\)

Các thành phần của công thức logarit: Log là viết tắt của logarit. Cơ số là 2. Đối số là 8. Số mũ là 3.

2.3. Biết sự khác biệt giữa các hàm logarit

Bạn cần biết logarit có nhiều loại để phân biệt cho tốt. Logarit bao gồm:

• Logarit thập phân hay logarit cơ số 10 được viết là \(\log_{10}b\) được viết phổ biến là lgb hoặc logb. Logarit cơ số 10 có tất cả các tính chất của logarit với cơ số > 1. Công thức: lgb=α↔\(10^α=b\)

• Logarit tự nhiên hay logarit cơ số e (trong đó e ≈ 2,718281828459045), viết là số logeb thường viết là lnb. Công thức ln như sau: lnb=α↔\(e^α=b\)

Ngoài ra, dựa theo tính chất của logarit, ta có các loại sau:

• Logarit của đơn vị và logarit của cơ số. Theo đó, với cơ số tùy ý, ta sẽ luôn có công thức logarit như sau: \(\log_a1=0\) và \(\log_aa=1\) 

• Phép mũ hóa và phép logarit hóa theo cùng cơ số. Trong đó, phép mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; còn logarit số hóa dương B theo cơ số a sẽ tính logab là hai phép toán ngược nhau ∀a,b>0(a≠1) \(a^{\log_aα}=\log_aa^α=α\)

\(\log_ab^α=α\log_ab\)

Logarit và các phép toán

• Đổi cơ số cho phép chuyển các phép toán lấy logarit cơ số khác nhau khi tính logarit theo cùng một cơ số chung. Với công thức logarit này, khi biết logarit cơ số α, bạn sẽ tính được cơ số bất kỳ như tính được các logarit cơ số 2, 3 theo logarit cơ số 10.

Xem thêm: Cách tính phần trăm (%) dễ dàng và chính xác nhất 

2.4. Biết và áp dụng các tính chất của logarit

Cho 2 số dương a và b với a#1 ta có các tính chất sau của logarit:

• \(\log_a(1)=0\)
• \(\log_a(a)=1\)
• \({\display a^{\log _{a}b}=b}\)
• \({\display \log _{a}a^{\alpha }=\alpha }\)

Tính chất của logarit giúp bạn giải các phương trình của logarit và hàm mũ. Nếu không có các tính chất này, bạn sẽ không thể giải được phương trình. Tính chất của logarit chỉ dùng được khi cơ số và đối số của logarit là dương, điều kiện cơ số a # 1 hoặc 0.

• Tính chất 1: \(\log_a (xy) = \log_a x + =\log_a y\)

Logarit của 2 số x và y nhân với nhau có thể phân chia thành 2 logarit riêng biệt bằng phép cộng.

Ví dụ: 
\(\log_2 16=\log_2(8.2)=\log_28+\log_22=3+1=4\) 

• Tính chất 2: \(\log_a (x / y) = \log _a x - \log_ a y\) 

Logarit của 2 số x và y chia cho nhau có thể phân chia thành 2 logarit bằng phép trừ. Theo đó, logarit của cơ số x sẽ trừ đi logarit của cơ số y.

Ví dụ: \(\log _2 (5/3)=\log_25-\log_23\)  

• Tính chất 3: \(\log_a (x^r ) = r * \log_ a x\) 

Nếu đối số x của logarit có số mũ r thì số mũ sẽ trở thành số chia cho logarit.

Ví dụ: \(\log _2 (6^5 )=5*\log_26\) 

• Tính chất 4: \(\log_ a (1 / x) = -\log_ a x\) nghĩa là \((1/x) = x^{-1}\)

Ví dụ: \(\log_ 2 (1/3) = - \log_ 2 3\)

• Tính chất 5: \(\log_aa = 1\)

Ví dụ: \(\log_ 2 2 = 1\)

• Tính chất 6: \(\log_ a 1 = 0\) có nghĩa là nếu đối số bằng 1 thì kết quả của logarit luôn bằng 0. Tính chất này đúng với bất kỳ số nào có số mũ bằng 0 sẽ bằng 1.

Ví dụ: \(\log_ 3 1 = 0\)

• Tính chất 7: \((\log _b x / \log_ b a) = \log_ a x\)

Tính chất này được gọi là biến đổi cơ số. Mỗi logarit chia cho một logarit khác với điều kiện 2 logarit đều có cơ số giống nhau. Kết quả logarit mới có đối số a của mẫu số biến đổi thành cơ số mới và đối số x của tử số thành đối số mới.

Ví dụ: \(\log_ 2 5 = (\log 5 / \log 2)\)

Trên đây là những tính chất của logarit những công thức logarit và áp dụng vào bài tập với ví dụ cụ thể để bạn tham khảo cho mình.

2.5. Thực hành vào làm bài tập với các tính chất của logarit

Để nhớ được các công thức logarit, bạn cần rèn luyện bằng cách thực hành làm bài tập nhiều lần khi giải phương trình. Sau đây là ví dụ về giải phương trình áp dụng các công thức logarit hiệu quả để bạn dễ hình dung:

4x * log2 = log8 Chia cả hai vế cho log2.

4x = (log8 / log2) Sử dụng Thay đổi cơ sở.

4x = \(\log_ 2 8\) Tính giá trị của nhật ký.

4x = 3. Lúc này ta chia cả hai vế cho 4 sẽ được x = ¾ là kết quả của phương trình.

Tóm lại để hiểu rõ bản chất cùng tính chất của logarit, bạn cần học kỹ và thực hành nhiều.

Xem thêm: Mẫu Bảng Cửu Chương nhân chia và cách học thuộc nhanh

3. Quy tắc tính logarit                    

3.1. Logarit của một tích          

Công thức logarit của một tích như sau: \(\log_α (ab) = \log_αb + \log_αc\) ; Điều kiện: a, b, c đều là số dương với a # 1.

Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số a = 10 là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

3.2. Logarit của lũy thừa

Công thức logarit của lũy thừa: \(log_ab^α = α\log_ab\)
Điều kiện: Mọi số α và a, b là số dương với a # 1.

Xem thêm: Tổng hợp 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Hệ Quả

4. Cách sử dụng bảng Logarit

Với bảng logarit, bạn sẽ tính toán nhanh hơn rất nhiều so với máy tính, đặc biệt khi muốn tính toán nhanh hoặc nhân số lớn, sử dụng logarit thuận tiện hơn cả.

4.1. Cách tìm logarit nhanh

Để tìm logarit nhanh, bạn cần chú ý các thông tin sau đây:

• Chọn bảng đúng: Hầu hết các bảng logarit là cho logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân.

• Tìm ô đúng: Giá trị của ô tại các giao điểm của hàng dọc và hàng ngang.

• Tìm số chính xác nhất bằng cách sử dụng các cột nhỏ hơn ở phía bên phải của bảng. Sử dụng cách này trong trường hợp số có 4 hoặc nhiều hơn.

• Tìm tiền tố trước một số thập phân: Bảng logarit cho bạn biết tiền tố trước một số thập phân. Phần sau dấu phẩy gọi là mantissa.

• Tìm phần nguyên. Cách này dễ tìm nhất đối với logarit cơ số 10. Bạn tìm bằng cách đếm các chữ số còn lại của số thập phân và trừ đi một chữ số.

4.2. Cách tìm logarit nâng cao

Muốn giải những phương trình logarit nâng cao, bạn cần lưu ý những điều sau đây:

• Hiểu logarit là gì? Ví dụ, 10^2 là 100, 10^3 là 1000. Như vậy số mũ 2,3 là logarit cơ số 10 của 100 và 1000. Mỗi bảng logarit chỉ có thể sử dụng được với một cơ số nhất định. Cho đến nay, loại bảng logarit phổ biến nhất là logarit cơ số 10, còn gọi là logarit phổ thông.

• Xác định đặc tính của số mà bạn muốn tìm logarit

• Khi tra bảng logarit, bạn nên dùng ngón tay cẩn thận tra hàng dọc ngoài cùng bên trái để tính logarit trong bảng. Sau đó, bạn trượt ngón tay để tra điểm giao giữa hàng dọc và hàng ngang.

• Nếu bảng logarit có một bảng phụ nhỏ dùng để tính toán phép tính lớn hay muốn tìm giá trị chính xác hơn, bạn trượt tay đến cột trong bảng đó được đánh dấu bằng chữ số tiếp theo của số bạn đang tìm kiếm.

• Thêm các số được tìm thấy trong 2 bước trước đó với nhau.

• Thêm đặc tính: Khi tra ra điểm giao của hai hàng ra số cần tìm, bạn thêm đặc tính với mantissa ở trên để có kết quả tính logarit của mình.

Hy vọng với những kiến thức về logarit công thức logarit ở trên, bạn đã có thể hiểu rõ về logarit cùng cách áp dụng vào tính toán, làm bài tập cho mình.

>> Xem thêm:

• Công thức tính chu vi, diện tích hình thang cần nhớ
• Học cách giải bất phương trình
• Lý thuyết định lý Pytago và cách áp dụng định lý Pitago làm bài tập