1. Số nguyên tố là gì? Những điều thú vị về số nguyên tố

1.1. Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố luôn luôn là những số dương và chúng đều lớn hơn 1. Điều kiện thứ hai để một số trở thành số nguyên tố đó là số đó chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Hay nói cách khác, ngoại trừ 1 và chính nó thì số nguyên tố khi chia cho mọi số nguyên dương khác đều có kết quả là một phân số hoặc số thập phân.

Ví dụ: 13 là một số nguyên tố vì nó chỉ chia hết cho 1 và 13. Nếu lấy 13 chia cho 6 thì sẽ được 2 và dư 1.

15 thì lại không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 1, 3, 5 và 15.

Trong toán học, hợp số có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố. Chẳng hạn 2 và 3 đều là các số nguyên tố và 6 là hợp số được biểu diễn dưới dạng tích 2x3.

1.2. Một vài sự thật thú vị về số nguyên tố

1.2.1. Số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất

Có 8 số nguyên tố nhỏ hơn 20, bao gồm: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 và 19. Trong khoảng từ 1 cho đến 100 chỉ có 25 số nguyên tố, bao gồm: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97. Số nguyên tố không có giới hạn và có thể là những con số rất lớn, chẳng hạn 21577 là một số nguyên tố.

Có thể bạn chưa biết, số nguyên tố nhỏ nhất là 2. Tuy nhiên, đây lại là một số nguyên tố rất đặc biệt, bởi vì nó là số nguyên tố chẵn duy nhất. Lý do là vì tất cả các số chẵn khác đều chia hết cho 2, vì vậy chúng sẽ có ít nhất 3 ước số và do đó không thể trở thành số nguyên tố. Hiện nay người ta cho rằng không có số nguyên tố lớn nhất. Mặc dù vậy, có rất nhiều nhà khoa học vẫn đang nỗ lực tìm ra các số nguyên tố lớn hơn.

1.2.2. Cách mà người ta tìm ra các số nguyên tố

Số nguyên tố đã được phát hiện ra từ rất lâu trước đây, thậm chí là từ trước Công nguyên. Quay trở lại thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, khi đó  không hề có siêu máy tính hay các thiết bị hỗ trợ như hiện nay, có một nhà toán học tên là Eratosthenes đã phát minh ra một phương pháp tương đối đơn giản nhưng cũng rất hiệu quả để tìm ra các số nguyên tố.

Chẳng hạn, để tìm ra các số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 100, ta làm như sau:

- Bước 1: Vẽ một trục số hoặc  bảng số trong đó chứa các số từ 1 cho đến 100.

- Bước 2: Để lại 1 trên trục số vì 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

- Bước 3: Lựa chọn số nguyên tố nhỏ nhất là 2, sau đó gạch bỏ toàn bộ những số có thể chia hết cho 2 vì những số này chắc chắn không phải là số nguyên tố. Nguyên nhân thì rất dễ hiểu, bởi vì những số chia hết cho 2 sẽ có ít nhất là 3 ước số.

- Bước 4: Tiếp theo, hãy lựa chọn số 3 và thực hiện các hành động tương tự như đối với số 2.

- Bước 5: Bạn lặp lại quá trình ở bước 2 đối với tất cả những số chưa bị gạch bỏ. Cuối cùng bạn sẽ tìm ra các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 100. Chúng đều là các số chưa bị gạch bỏ trong bảng, tất nhiên là trừ số 1.

Phương pháp trên chỉ áp dụng được cho những khoảng số nhỏ. Trên thực tế thì càng đi đến khoảng số lớn hơn thì số lượng các số nguyên tố càng giảm đi.

Như đã đề cập đến ở trên, hiện chưa tìm ra được số nguyên tố lớn nhất, và người ta cũng cho rằng không có số nguyên tố lớn nhất. Theo giới nghiên cứu, số nguyên tố lớn nhất là một số nguyên tố Mersenne có công thức chung là 2n − 1, trong công thức trên thì n cũng là một số nguyên tố.

Tính đến tháng 9 năm 2021 thì số nguyên tố lớn nhất được siêu máy tính tính toán ra đó là 2 mũ 82.589.933 - 1. Có thể bạn chưa hình dung được độ lớn của số này, tuy nhiên, đó là một số nguyên tố được viết bởi 24.862.048 chữ số.

1.2.3. Hai số nguyên tố cùng nhau

Có một khái niệm khá thú vị mà bạn nên tìm hiểu khi học về số nguyên tố đó là hai số nguyên tố cùng nhau. Vậy hai số nguyên tố cùng nhau là gì?

Hai số được coi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ có duy nhất một ước chung là 1. Điều thú vị là hai số này không nhất thiết đều phải là các số nguyên tố. Ví dụ 9 và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau, nhưng chúng đều không phải là các số nguyên tố. Xét theo định nghĩa trên thì hai cặp số nguyên tố bất kỳ luôn được coi là hai số nguyên tố cùng nhau.

1.2.4. Số nguyên tố sinh đôi

Số nguyên tố sinh đôi được phát biểu trong lý thuyết số học. Theo đó, xét hai số nguyên tố cho trước là P và Q. Nếu kết quả của phép trừ P và Q bằng 2 thì P và Q được gọi là hai số nguyên tố sinh đôi. Theo lý thuyết này thì những cặp số nguyên tố sinh đôi sẽ bao gồm hai số nguyên tố chỉ cách nhau đúng một số khác. Chẳng hạn 5 và 7 là cặp số nguyên tố sinh đôi. Người ta cho rằng có vô vàn các cặp số nguyên tố sinh đôi như vậy.

2. Ứng dụng số nguyên tố trong đời sống

Số nguyên tố có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, và đáng kể nhất đó là ứng dụng trong lĩnh vực an ninh mạng, góp phần đảm bảo tính an toàn cho những thông tin riêng tư được lưu trữ trên mạng internet.

Số nguyên tố được ứng dụng trong các thuật toán nhằm mã hóa bảo mật những thông tin cá nhân trong thẻ tín dụng hay các loại hồ sơ điện tử. Một số phần mềm nhắn tin cũng ứng dụng thuật toán bảo mật sử dụng số nguyên tố, tiêu biểu nhất đó là ứng dụng WhatsApp.

Nguyên tắc ứng dụng số nguyên tố trong bảo mật thông tin đó là người ta sẽ sử dụng kết quả có được sau khi làm phép nhân hai số nguyên tố rất lớn với nhau. Thậm chí có nhiều công ty còn sử dụng các số nguyên tố dài hàng trăm chữ số. Sau đó người ta sẽ sử dụng kết quả của phép nhân trên để mã hóa thông tin.

Đây là một hình thức mã hóa thông tin rất đáng tin cậy và khó có thể bị phá giải. Nếu có người muốn phá giải thì trừ khi người đó có thể tìm ra được hai số nguyên tố ban đầu được sử dụng để thực hiện phép nhân. Để làm điều này rất tốt thời gian (ước tính có thể mất đến cả thập kỷ để tìm ra các số nguyên tố ban đầu) và có khi sau hàng triệu lần thất bại thì vẫn không thể tìm ra các số nguyên tố ấy.

Như vậy bạn đã hiểu được số nguyên tố là gì và một số sự thật rất thú vị về số nguyên tố. Hiện nay các nhà khoa học vẫn đang nỗ lực tìm ra số nguyên tố lớn nhất, nhưng có vẻ như chặng đường này còn rất dài. Cứ cách một khoảng thời gian người ta lại tìm ra được thêm một số nguyên tố lớn hơn. Điều này minh chứng cho hai quy luật đó là không có số nguyên tố lớn nhất và càng lớn thì càng khó tìm ra số nguyên tố.